01. 불대수

제1절 논리회로

논리회로는 불 대수를 물리적 장치에 구현한 것으로, 하나 이상의 논리적 입력값에 대해 논리 연산을 수행하여 하나의 논리적 출력값을 얻는 전자회로를 말한다. AND, OR, NOT의 기본 불 대수를 수행하며, 이 기본적인 불 대수들의 결합으로 복합적인 논리 기능을 수행한다.

 

논리회로에 앞서 선행되어야 하는 토픽들

 

제1항 불 대수

(１) 기본적인 논리함수

1) 논리곱(AND)

① 모든 입력이 1인 경우에만 1을 출력한다.

② AND 게이트 기호와 진리표

③ AND 게이트의 대수적 표현

 

2) 논리합(OR)

① 입력 중 최소한 한 개 이상의 입력이 1을 갖는 경우 1을 출력한다.

② OR 게이트 기호와 진리표

③ OR 게이트의 대수적 표현

 

3) 부정(NOT)

① 입력에 대하여 반대로 출력한다.

② NOT 게이트 기호와 진리표

③  NOT 게이트의 대수적 표현

 

4) XOR 게이트

① 두 입력이 서로 반대되는 조건인 경우 1을 출력한다.

② XOR 게이트 기호와 진리표

③  NOT 게이트의 대수적 표현

 

5) NAND 게이트

① AND와 NOT 게이트의 결합형태로 결과는 AND게이트와 반대로 동작한다.

② NAND 게이트 기호와 진리표

③  NAND 게이트의 대수적 표현

 

6) NOR 게이트

① OR와 NOT 게이트의 결합형태로 결과는 OR게이트와 반대로 동작한다.

② NOR 게이트 기호와 진리표

③  NOR 게이트의 대수적 표현

 

7) NXOR 게이트

① XOR와 NOT 게이트의 결합형태로 결과는 XOR게이트와 반대로 동작한다.

② NXOR 게이트 기호와 진리표

③  NXOR 게이트의 대수적 표현

 

 

(２) 불 대수 (Boolean Algebra)

1) 하나의 명제가 참 또는 거짓인가를 판단하는 데 이용되는 수학적인 방법

2) 동일한 성능을 갖는 더 간단한 회로로 만들 수 있다.

3) 부울 대수를 사용하면 변수들의 진리표 관계를 대수식으로 표현하기에 용이하다.

 

(３) 불 대수의 기본 공식

1) 교환법칙

A ∙ B = B ∙ A

A + B = B + A

 

2) 결합법칙

A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C

(A + B) + C = A + (B + C)

 

3) 분배법칙

A ∙ (B + C) = (A ∙ B) +(A ∙ C)

A + (B ∙ C) = (A + B) ∙ (A + C)

 

 

4) 멱등법칙

A + A = A

A ∙ A = A

 

5) 보수법칙

A + A^’ = 1

A ∙ A^’ = 0

 

6) 항등법칙

A + 0 = A

A + 1 = 1

A ∙ 0 = 0

A ∙ 1 = A

 

7) 콘센서스법칙

AB + BC + CA^’ = AB + CA^’

 

8) 드모르강

(A + B)^’ = A^’ ∙ B^’

(A ∙ B)^’ = A^’ + B^’

 

9) 복원법칙

A^’’ = A

 

10) 흡수법칙

A + A ∙ B = A

A ∙ A + B = A

 

(４) 불 대수의 간소화

1) 방법

① 불 대수의 기본공식을 이용하여 간소화 한다.

 

2) 예제

① Y = AB + AB^’ + A^’B

A ∙ (B+B^’) + A^’B

A∙(1) + A^’B

A + A^’B

(A+A^’) ∙ (A+B)

1 ∙ (A+B)

(A+B)

 

② A + A∙B = A

 

③ A+A^’B

(A+A^’) ∙ (A+B)

1 ∙ (A+B)

A+B

 

④ A+A∙B^’ = A

 

⑤ A ∙ (A+B) = A

 

⑥ A ∙ (A^’+B)

(A ∙ A^’) + (A ∙ B)

0 + (A ∙ B)

A ∙ B

 

⑦ 불 대수가 옳지 않은 것은?

가. A+A^’∙B=A                  나. A∙A=A     

다. A+A∙ B^’=A                라. A∙ (A+B)=A

가. A+A^’∙B = (A+A^’)∙(A+B) = 1∙(A+B) = A+B

나. A∙A=A

다. A+A∙ B^’=A (흡수법칙)

라. A∙ (A+B)=A (흡수법칙)

 

(５) 카르노 맵 (K-map : Karnaugh Map)

1) 최소항과 최대항

최소항(Minterm)과 최대항(Maxterm)은 논리회로에서 카르노 맵 간략화를 위해 필요하다.

 

① 최소항

•  진리표에서 1의 값을 가지는 변수를 모두 찾아서 곱의합으로 표시할수 있는데  이를 최소항이라고 한다.

•  정사각형은 함수의 최소항들을 나타낸다.

 

② 최대항(Maxterm)

•  최소항은 곱들의 합 형태이고, 최대항은 합들의 곱 형태이다.

•  최대항은 최소항의 보수라고 볼수 있다.

 

2) 카르노 맵 간소화 규칙

① 함수에서 사용될 최소항들을 표 안에 표시한다.

② 입력변수가 2개(a,b), 3개(a,b,c), 4개(a,b,c,d)인 경우에 사용된다.

③ 2의 거듭제곱으로 묶는다 (1,2,4,8,16)

④ 이웃한 항끼리 묶는다.

⑤ 직사각형이나 정사각형의 형태로 묶는다.

 

3) 2, 3, 4 변수 맵

① 2변수 맵

•  A’B’ + AB 

② 3변수 맵

 

•  A’B’C’ + A’B’C = A’B’(C’+C) = A’B’(1) = A’B’

 

Or 

 

•  AB’C’ + ABC’ = AC’(B’+B) = AC’(1) = AC’

•  A’B’C’ + AB’C’ = B’C’(A’+A) = B’C’(1) = B’C’

 

③ 4변수 맵

 

•  2개 그룹

가.   ABC’D + AB’C’D = C’D(AB+AB’) = C’D(A(B+B’)) = C’D(A(1)) = C’DA = AC’D 

나.   A’B’CD+AB’CD=B’CD(A’+A)=B’CD(1) =B’CD 

• 4개 그룹

• 8개 그룹

 

4) 예제

① 논리 함수식 F(A,B,C) = ∑(2,4,5,7)으로 간략화하면

                       A’BC’ + AB’ + AC

 

② 다음과 같이 표시된 카르노(karnaugh)도를 간소한 식은 

A+ C’ 

③ 다음과 같이 표시된 카르노(karnaugh)도를 간소한 식은 

C’